Güncel Kim Kimdir

ÖKLİD

Tarafından yazılmıştır admin

Rönesans sonrası Avrupa’da, Kopernik’le başlayan, Kepler, Galileo ve Newton’la 17. yüzyılda doruğuna ulaşan bilimsel devrim, kökleri Helenistik döneme uzanan bir olaydır. O dönemin seçkin bilginlerinden Aristarkus, güneş merkezli astronomi düşüncesinde Kopernik’i öncelemişti; Arşimet yaklaşık iki bin yıl sonra gelen Galileo’ya esin kaynağı olmuştu; Öklid çağlar boyu yalnız matematik dünyasının değil, mate­matikle yakından ilgilenen hemen herkesin gözünde özenilen, yetkin bir örnekti. Öklid, M.Ö. 300 sırala­rında yazdığı 13 ciltlik yapıtıyla ünlüdür. Bu yapıt, geometriyi (dolayısıyla matematiği) ispat bağlamında aksiyomatik bir dizge olarak işleyen, ilk kapsamlı çalışmadır. 19. yüzyıl sonlarına gelinceye kadar bir tek ders kitabı olarak akademik çevrelerde okunan, oku­tulan Elementler’in, kimi yetersizliklerine karşın, de­ğerini bugün de sürdürdüğü söylenebilir.

Egeli matematikçi Öklid’in kişisel yaşamı, ai­le çevresi, matematik dışı uğraş veya merak­larına ilişkin hemen hiçbir şey bilinmemek­tedir. Bilinen tek şey; İskenderiye Kraliyet Enstitüsü’nde dönemin en saygın öğretme­ni; alanında yüzyıllar boyu eşsiz kalan bir ders kitabının yazarı olmasıdır. Eğitimim Atina’da Platon’un ünlü aka­demisinde tamamladığı sanılmaktadır. O akademi ki giriş kapısında, “Geometriyi bilmeyen hiç kimse bu kapıdan içeri alınmaz!” levhası asılıydı.

Öklid’in bilimsel kişiliği, unutulmayan iki sözünde yansımaktadır. Dönemin kralı I. Ptolemy, okumada güçlük çektiği Elementler’in yazarına, “Geometriyi kestirmeden öğrenmenin yolu yok mu?” diye sorduğunda, Öklid “Özür dilerim, ama geometriye giden bir kral yolu yoktur” der. Bir gün dersini bitirdiğinde öğrencilerinden biri yaklaşır, “Hocam, verdiğiniz ispatlar çok güzel; ama pratikte bunlar neye yarar?” dive sorduğunda. Öklid kapıda bekleyen kö­lesini çağırır, “Bu delikanlıya 5-10 kuruş ver, vaktinin boşa gitmediğini görsün!” demekle yetinir.

Öklid haklı olarak “geometrinin babası” diye bilinir ama geometri onunla başlamış değildir. Tarihçi Herodotus (M.Ö. 500) geometrinin başlangıcını, Nil vadisinde yıllık su taşmalarından sonra arazi sınırlarını belirlemekle görevli kadastrocuların çalışmalarında bulmuştu. Ge­ometri “yer” ve “ölçme” anlamına gelen “geo” ve “metrein” sözcüklerinden oluşan bir terimdir. Mısır’ın yanı sı­ra Babil, Hint ve Çin gibi eski uygarlıklarda da gelişen geometri bu dönemlerde büyük ölçüde, el yordamı, ölç­me, analoji ve sezgiye dayanan bir yığın işlem ve bulgu­dan ibaret çalışmalardı. Üstelik ortaya konan bilgiler ço­ğunlukla kesin olmaktan uzak, tahmin çerçevesinde ka­lan sonuçlardı. Örneğin, Babilliler dairenin çemberini ça­pının üç katı olarak biliyorlardı. Bu öylesine yerleşik bir bilgiydi ki pi’nin değerinin 3 değil, 22/7 olarak ileri sürenlere, bir tür şarlatan gözüyle bakılıyordu. Mısırlılar bu konuda daha duvarlıydılar. M.Ö. 1800 yıllarına ait Rhind papirüslerinde onların pi’yi yaklaşık 3.1604 olarak belir­ledikleri görülmektedir ama Mısırlıların bile her zaman doğru sonuçlar ortaya koyduğu söylenemez. Nitekim ke­sik kare piramidin oylumunu (hacmini) hesaplamada doğru formülü bulan Mısırlılar, dikdörtgen için doğru olan bir alan formülünün, tüm dörtgenler için geçerli olduğunu sanıyorlardı.

Aritmetik ve cebir alanında Babilliler, Mısırlılardan daha ilerde idiler. Geometride de önemli buluşları vardı. Örneğin, “Pythagoras Teoremi” dediğimiz, bir dik açılı üçgende dik kenarlarla hipotenüs arasındaki bağıntıya ilişkin önerme “bir dik üçgenin dik kenar karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir” buluşlarından bi­riydi. Ne var ki doğru da olsa bu bilgiler deneysel nitelik­teydi. Mantıksal ispat aşamasına geçilememişti henüz. Ege’li Filozof Thales’in (M.Ö. 624-546), geometrik önermelerin tümevarım yöntemle ispatı gereğini ısrarla vurguladığı, bu yolda ilk adımları attığı bilinmektedir. Mısır genişinde tanıştığı geometriyi, dağınıklıktan kurtarıp, tu­tarlı, sağlam bir temele oturtmak isti­yordu. İspatladığı önermeler arasında ikizkenar üçgenlerde taban açılarının eşitliği, kesişen iki doğrunun oluştur­duğu karşıt açıların biri birine eşitliği vb. ilişkiler vardı.

Klasik çağın “Yedi Bilgesi”nden biri olan Thales’in açtığı bu yolda. Pythagoras ve onu izleyenlerin elinde, matematik büyük ilerlemeler kaydetti. Sonuçta Elementler’de işlendiği gibi, oldukça soyut mantıksal bir dizgeye ulaştı. Pythagoras, matematikçiliğinin yanı sıra, sayı mistisizmini içeren gizlili­ğe bağlı bir tarikatın önderiydi, buna göre sayısallık evrensel uyum ve düze­nin asal niteliğiydi; ruhun yücelip tanrı­sal kata erişmesi ancak müzik ve matematikle olasıydı.

Buluş ve ispatlarıyla matematiğe önemli katkılar yapan Pythagorasçılar sonunda inançlarıyla ters düşen bir bu­luşla açmaza düştüler. Bu buluş, kare­nin kenarı ile köşegenin ölçüştürülemeyeceğine ilişkindi. √ 2 gibi, bayağı kesir şeklinde yazılamayan sayılar, on­ların gözünde gizli tutulması gereken bir skandaldı. Rasyonel olmayan sayı­larla temsile elveren büyüklükler nasıl olabilirdi? Pythagorasçıların tüm çaba­larına karşın üstesinden gelemedikleri bu sıkıntıyı, daha sonra tanınmış bilgin Eudoxus oluşturduğu irrasyonel büyüklükler için de geçerli olan Orantılar Kuramıyla giderir.

Öklid Pythagoras geleneğine bağlı bit ortamda yetişmişti. Platon gibi onun için de önemli olan soyut düşünceler, düşünceler arasındaki mantıksal bağıntılardı. Duyumla­rımızla içine düştüğümüz yanlışlıklardan an­cak matematiğin sağladığı evrensel ilkeler ve salt ussal yöntemlerle kurtulabilirdik. Kale­me aldığı Elementler kendisini önceleyen Thales, Pythagoras, Eudoxus gibi bilgin matematikçilerin çalışmaları üstüne kurulmuştu. Geometri bir önermeler koleksiyonu olmaktan çıkmış, sıkı mantıksal çıkarım ve bağıntılara davamın bir dizgeye dönüşmüştü, Artık önermelerin doğruluk değeri, gözlem veya ölçme verileriyle değil, ussal ölçütlerle denetlenmekteydi. Bu yaklaşımda pratik kaygılar ve uygulamalar arka plana itilmişti.

Kuşkusuz bu, Öklid geometrisinin pra­tik problem çözümüne elvermediği demek değildi. Tam tersine, değişik mühendislik alanlarında pek çok problemin, bu geometri­nin yöntemiyle çözümlendiğini ama Ele­mentler’in eğreti olarak değindiği bazı ör­nekler dışında, uygulamalara yer vermediği de bilinmektedir. Öklid’in pratik kaygılardan uzak olan bu tutumunun matematik dünya­sındaki izleri, bugün de rastladığımız bir ge­leneğe dönüşmüştür. Gerçekten, özellikle matematikçilerin gözünde, matema­tik şu ya da bu işe yaradığı için değil, yalın gerçeğe yönelik, sanat gibi güzelliği ve değe­ri kendi içinde soyut bir düşün uğraşı olduğu için önemlidir.

Matematiğin tümüyle ussal bir etkinlik olduğu doğru değildir. Buluş bağlamında tüm diğer bilimler gibi matematik de sınama, yanılma, tahmin, sezgi, içe doğuş türün­den öğeler içermektedir. Yeni bir bağıntıyı sezinleme, değişik bir kavram veya yöntemi ortaya koyma, temelde mantıksal olmaktan çok psikolojik bir olaydır. Matematiğin us­sallığı, doğrulama bağlamında belirgindir. Teoremlerin ispatı, büyük ölçüde kuralları belli, ussal bir işlemdir ama sorulabilir. Ök­lid neden, geometrinin ölçme sonuçlarıyla doğrulanmış önermeleriyle yetinmemiş, bunları ispatlayarak, mantıksal bir dizgede toplama yoluna gitmiştir?

Öklid’i bu girişiminde güdümleyen mo­tiflerin ne olduğunu söylemeye olanak yok­tur ancak Helenistik çağın düşün ortamı göz önüne alındığında başlıca dört noktanın öngörüldüğü söylenebilir

1) İşlenen konu­da çoğu kez belirsiz kalan anlam ve ilişkilere açıklık getirmek

2) İspatta başvurulan ön­cülleri (varsayım, aksiyom veya postulatları) ve çıkarım kurallarını belirtik kılmak

3) Ula­şılan sonuçların doğruluğuna mantıksal ge­çerlik kazandırmak (Başka bir deyişle, teoremlerin öncüllere görecel zorunluluğunu, yani öncülleri doğru kabul ettiğimizde teoremi yanlış sayamayacağımızı gös­termek)

4) Geometriyi, ampirik genel­lemeler düzeyini aşan soyut simgesel bir dizge düzeyine çıkarmak.

Bir ör­nekle açıklayalım: Mısırlılar ile Babilliler kenarları 3, 4, 5 birim uzunluğunda olan bir üçgenin, dik üçgen olduğunu deneysel olarak biliyorlardı ama bu ilişkinin 3, 4, 5 uzunluklarına özgü ol­madığını, başka uzunluklar için de ge­çerli olabileceğini gösteren veriler orta­ya çıkıncaya dek kestirmeleri güçtü; buna ihtiyaçları da yoktu. Öyle kuram­sal bir açılma için pratik kaygılar ötesin­de salt entelektüel motifli bir arayış içinde olmak gerekir. Nitekim Egeli bilginler somut örnekler üzerinde ölç­meye dayanan belirlemeler yerine, bili­nen ve bilinmeyen tüm örnekler için geçerli soyut genellemeler arayışındaydılar. Onlar, kenar uzunlukları a, b, c diye belirlenen üçgeni ele almakta, üç­genin ancak a + b = c eşitliği gerçekleş­tiğinde dik üçgen olabileceği genel­lemesine gitmektedirler.

Öklid oluşturduğu dizgede bir­takım tanımların yanı sıra, beşi “ak­siyom” dediği genel ilkeden, beşi de “postulat” dediği geometriye özgü il­keden oluşan, on öncüle yer vermiştir (Öncüller, teoremlerin tersine ispatlan­maksam doğru sayıları önermelerdir). Dizge tüm yetkin görünümüne karşın aslın­da çeşitli yönlerden birtakım yetersizlikler içermekteydi. Bir kez verilen tanımların bir bölümü (özellikle, “nokta”, ”doğru”, vb. il­kel terimlere ilişkin tanımlar) gereksizdi. Sonra daha önemlisi, belirlenen öncüller dışında bazı varsayımların, belki de farkında olmaksızın kullanılmış olması, dizgenin tutarlılığı açısından önemli bir kusurdu. Ne var ki, matematiksel yöntemin oluşma içinde olduğu başlangıç döneminde, bir bakıma kaçınılmaz olan bu tür yetersizlikler, gider­ilemeyecek şeyler değildi. Nitekim 18. yüz­yılda başlayan eleştirel çalışmaların dizgeye daha açık ve tutarlı bir bütünlük sağladığı söylenebilir, üstelik dizgenin irdelenmesi, beklenmedik bir gelişmeye de yol açmıştır. Öncüllerde bazı değişikliklerle yeni geomet­rilerin onaya konması “Öklid-dışı” diye bili­nen bu geometriler, sağduyumuza aykırı da düşseler, kendi içinde tutarlı birer dizgedir. Öklid geometrisi, artık var olan tek geometri değildir, öyle de olsa, Öklid’in düşünce tarihinde tuttuğu yerin değiştiği söy­lenemez.

Genel Rölativite Kuramı’nda Öklid geometrisini değil, Riemann geometrisini kullanan Einstein’ın, Elementler’e ilişkin yargısı son derece çarpıcıdır: “Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapa­bileceği hayaline boşuna kapılmasın!”

Yazar Hakkında

admin

%d blogcu bunu beğendi: