Nedir Son Makaleler Tarihçe

PİSAGOR

Pozitif bilimlerin oluşumundan günümüze dek gelen yol, hem çok uzun ve hem de pek çok meşakkatlidir. Yirmibeş yüzyıl önce bu yola ilk adımını atanların en başında Pythagoras (Pisagor M.Ö. 569-477) gelir. Onun yaktığı bilim ışığını Zenon (M.Ö. 495-435), Euclid (M.Ö. 330-275) ile Archimedes (M.Ö 287-212) Ortaçağ’ın korkunç karanlığından geçirerek, Descartes eliyle Newton ve Einstein‘e teslim etmişlerdir. Bugün eriştiğimiz teknik uygarlık seviyesinde, Pisagor’un rolünü inkâr edemeyiz.

O bilimler tarihi boyunca ilk defa ve hayatı pahasına, bilimsel mantığın temellerini, bir daha değiştirilemeyecek olan, axiom-postulat-hypothesis bazına oturtarak, bu düşünce zincirini bir de mutlak (ispat)’ın lüzumu ile noktalamıştır.

Şüphesiz ki, bu düşünce sistemi ve evrensel mantığı ile, bizlere nazaran, Pisagor, ikibinbeşyüz yıl önümüzde idi.

İlk öğretmeni Thales (M.Ö. 624-448 ?)’in öğüdü ile genç Pisagor, öğrenmek uğruna; İtalya’dan Mısır’a, antik Kalde şehirlerinden Yunanistan’a kadar diyar diyar dolaşmakla hayatını geçirmiş ve gününün tüm bilimlerini sindirmişti. Denildiğine göre, antik devirlerin bu en büyük ticaret merkezindeki on sene kadar süren tutsaklığı esnasında, Uzak Doğu’dan gelen Çinli ve Hintli tüccarları da tanımış ve onlardan da kökü çok daha eskilere giden Doğu’ya ait bilimleri de öğrenmiş ve böylece kendini bütünleştirmiştir.

İşte Pisagor’un büyüklüğü de buradan kaynaklanmaktadır. O, kendisinden çok daha öncelerden birikmiş ve kendi devrinde gelişmiş tüm çeşitli, fakat dağınık ve bireysel kalmış bilimleri bir disiplin altında derleyerek sınıflandırmış ve her birini ayrı bir bilim dalı olarak öğrenime açmıştır. Devrinin filozofi, geometri, aritmetik, müzik, astronomi, coğrafya ve tabiat bilimlerinde üstat idi. Fizik alanında ilk defa optik kuramlarını koymuş, ses ve armonikleri teorilerine ilk adımını atmıştı.

Buna rağmen, bilim tarihçilerinin birleştikleri nokta, Pisagor’un asıl büyüklüğünün geometri alanında oluşudur. Devrine kadar süregelen dağınık ölçme kural ve tekniklerini, “Geometri” başlığı altında derleyip, bunları bir daha değiştirilemeyecek prensiplere bağlamakta gösterdiği muhteşem mantık, en büyük eseri olarak gösterilir. Öyle ki bu prensipler, kendisinden 250 yıl sonra, Euclid (MÖ. 330-275)’in “Elementler” i olmuş ve hiç değişmeden, sadece bir iki ufak ek ve yorumlarla bugüne kadar uzanıp, bizim ortaokul ve liselerimize girmiştir.

Pisagor’un insanlığa devrettiği en azametli mirası, kendi adına izafe edilen o meşhur “Teorem’’idir. Üzerinden nice yüzyıllar geçmiş olmasına rağmen, Pisagor’un ilk defa “Teorem” olarak kurduğu ve evrensellik kazanabilmesi için bir geometrik “İspat”a lüzum olduğunu söylediği günden bu yana, bu ispatı aramak uğruna başlayan heyecan, şevk ve gayret, o tazeliğini yitirmemiştir. Üstelik de bu emek, bugünün Sayılar Teorisi‘ni doğurmuş, Trigonometriyi oluşturmuş. Astronomiye sınırsız yardımları dokunmuş ve Analitik Geometrinin temelini kurmuştur.

Bu antik, fakat ilk modern teorem, “Bir dik üçgenin dik kenar karelerinin toplamı, hipotenüsünün karesine eşittir” diyordu.

Daha Milat’tan belki de yirmi yüzyıl önce bile, Nil Vadisi’ndeki Mısırlı taşçı ustaları ile marangozlar, çok pratik bir yoldan dik açı elde etmeyi biliyorlardı. Bugün, arkeolog ve tarihçiler, Mısırlıların, bu pratik bilgileri Babillilerden devraldıklarına emindirler. Babillilerin de Çin ve Hintli gezginci tacirleriyle bilgi alışverişinde bulunduklarını biliyoruz. Çok daha eski kalıntılar, Çinlilerin inşaat maksadıyla dik açı teşkil etmekte “6, 8 ve 10” gibi relatif ölçüleri kullandıklarını, Hintlilerin ise, “1, 3/4 ve 5/4” ile gerçekleştirdiklerini göstermektedir. Meşhur Herodot Tarihi ise, Giza Piramitlerini inşa eden mimar ve ustaların da aynı oranları “3, 4 ve 5” olarak ve üzerlerinde eşit aralıklarla düğümler yapılmış ipleri kullanmak suretiyle gerçekleştirmiş olduklarından bahseder.

İşte bu rastlantı, Pisagor’un bilim tarihindeki yerini perçinlemiştir. Ona göre, sadece deneysel olarak kanıtlanan bu “3, 4, 5” kuralının çok daha geniş ve evrensel bir kuramın sonucu olup olmadığını araştırmak ve mutlaka bir geometrik ispatını yapmak, kendi felsefesinin gereği idi.

Kurduğu genel kuram, daha sonraları Plato (M.Ö. 429-348) tarafından yeniden düzenlendiği şekilde, bir dik üçgenin dik kenarlarını tek veya çift tam sayılarla oluşturan ilk aritmetik serilerle, probleme evrensel uyumluluk kazandırdı. Böylece de ilk defa kendisinin başlattığı ve kendisinden yirmi yüzyıl sonra gelen Fermat’ın eliyle günümüze uzayan ve de hala tamamlanamamış olan Genel Sayılar Teorisi’ne ilk adımını attı. Buna göre, bir dik üçgenin küçük dik kenarı “n” tek tam sayı ise büyük dik kenar 1/2 (n2-1) ve hipotenüsü de 1/2 (n²+ 1) olur. Buna özdeş olarak, şayet, küçük dik kenar (p) çift tam sayı ise, büyük dik kenar (p2/4*1) ve hipotenüs de (p2/4 + 1) olarak gerçekleşir. Ancak bu eşdeğerlilik anlaşıldıktan sonradır ki, genel olarak matematiksel ve özellikle geometrik bir ispatın lüzumu da mantık icabı olarak ortaya çıkmıştır.

Bugün bildiğimiz kadarıyla, Pisagor’un kendi teoremine istediği gibi bir geometrik ispat getirdiğine dair hiçbir güvenilir delil bulunmamaktadır. Günümüzde resmen tescil edilmiş, özel kurumlarca gruplandırılmış, katalog ve koleksiyonlara geçirilmiş olarak 377 adet ayrı ve birbirinden az çok farklı Pisagor Teoremi ispatı vardır ve bu sayı zamanla da artmaktadır.

Bu özel koleksiyonlarda kodlanmış çözüm sahiplerinin en genci 16 yaşında bir genç kız, en yaşlısı ise, 88 yaşında emekli bir profesördür. Aralarında, % 22 gibi bir hayli yüksek oranda genç kız ve matematikçiler kadar geometri amatörleri de merak ve emek sarf etmişlerdir.

Ortaokul ve lise dönemlerimizde, matematik ve geometri derslerinde gördüğümüz bu problem, bizim kültürümüzde genellikle “Pisagor Teoremi” olarak bilinirse de, gençliğimizde, her nedense “Eşek Davası” olarak yaygınlaşmıştır. Batıda ise, takriben Rönesans’tan sonra, “Marangoz Teoremi” olarak tanınmıştır. Ortaçağlarda ise, insanın düşünce kapasitesini çok zorladığı için olacak, Latince “Pons Asinorum” diye anılmış, daha da antikitede, Plutarch’ın anlattığı bir hikâyeye izafeten, site krallarından birinin, iyi bir ispat bulana yüz öküz bağışlamayı vaat etmesi üzerine, “Hecatomb Problemi” olarak adlandırılmıştır. Arap kültür tarihinde ise buna, “Gelin Perçemi” denmesini anlamak doğrusu güçtür.

Pisagor Teoremi’nin ispatı için alcebrik ve geometrik yollar veya bunların her ikisinin karışımı kullanılmıştır. Dik açı köşesinden hipotenüse indirilen dikeyin ve diğer üç kenarın uzunluklarının oranlarını ele alan (Linear Alcebrik) incelemeler sayılamayacak kadar çoktur. Kodlanmış 377 ispatın aşağı yukarı 150’si bu yolu seçmiştir. (Geometrik) ispatlar, dik kenarlar ile hipotenüs üzerine çizilen kare alanlarının eş değerliklerini inceler.

Alcebrik-Geometrik ispatlar, bir dik üçgenin üzerinde çizilen ilave yardımcı konstrüksiyonları kullanarak aritmetik bir çözüme gider. yaklaşık 100 kadar ispatı kapsar.

 

Modern matematiğin, eşitsizlik ve Non-Eucledean geometrisi yolu ile yapılan ispatlar vardır. Bu ispatların özellikle Rusya’dan çıkışı, (Lobatchewsky ve diğerleri) hayli anlamlıdır.

Teorik matematiğin vektör ve yön analizleri ile yapılan (Quaternionic) ispatlar Japonya ve Çekoslovakya’dan gelmiştir.

Çok daha yeni, fiziksel anlamı olan kitle, sürat ve kuvvet kavramlarını kullanan hiç alışılmamış (Dinamik) ispatlar da 20. yüzyılın son yansında görülmüştür.

Pisagor teoremini ispat etmek için trigonometri veya analitik geometri kullanılamaz. Zira, oluşumları zaten Pisagor eşitliğine bağlıdır. Diferansiyel ve integralin ise Pisagor’la ilgisi yoktur.

Dokümanlara dayanılarak bilinen ilk tam geometrik çözümün, Euclid tarafından verildiğini kabul etmek durumundayız. Pisagor’a ait olduğu sanılan birkaç çözüm, devirler sonra gelen yazarlar tarafından hep onun adına izafe edilmiş birer tahminden ibaret kalmıştır. Örneğin, eski Persler’de (İran) yaşamış ünlü bir astronom Nasiruddin (M.S. 1201 -1274), kitabında verdiği örnek bir iki çözümden bir tanesinin, kendisine bir Hintli matematikçi tarafından öğretildiğini, ama bunun büyük bir olasılık ile Pisagor’a ait olduğunu zannettiğini yazmıştır. O devirlerin iletişim yetersizliği ile açıklanabilecek çok garip bir rastlantı sonucu, 19. yüzyılın sonuna kadar birçok yazar, aynı çözümü, kendilerine aitmiş gibi göstermişlerdir.

Bütün klasik geometri kitaplarında bugün, tarihi değeri bakımından, sadece Euclid’in verdiği çözüm konstrüksiyonu öğretilmektedir. Milât’tan sonra 3. ve 4. yüzyıllar arasında; Mısır’da İskenderiye’de yaşamış büyük matematikçi Pappus, genel olarak, bir eksen etrafında dönen eğrilerin oluşturduğu alanlar ve hacimlerle uğraşmıştı. Bulduğu kuramlar, bilim tarihimize “Pappus Teoremleri” olarak geçmiştir. Bunlardan biri de üçgenlere aittir: Herhangi bir üçgenin herhangi iki kenarı üzerinde oluşturulabilen paralel kenarların toplamı, diğer üçüncü kenar üzerinde bağıl olarak çizilen paralel kenarın alanına eşittir. Buna göre, “Pisagor Teoremi”, “Pappus Teoremi”nin sadece bir özel halidir. Bu hakikat yüzyıllar boyu bilindiği halde, yine de, bütün kredi Pisagor’a verilmiştir: aslında da ona aittir ve de olmalıdır.

Diğer çeşitli çözümler arasında fevkalade ilginç ve çok değişik görüşleri kapsayan örnekler vardır. Bunların bilinen en kısası Fransız matematikçisi D. Legendre’ye aittir. Hiçbir konstrüksiyona ihtiyaç duymadan, sadece iki satırlık bir açıklama ile yetinir, alcebriktir. En uzunu ise, 1909’da tamamlanmış bir Non-Eucledeon doktora tezinde, J.Lowell, Ph. D. tarafından verilmiştir, çizimleri dahil üç sayfa tutmaktadır.

Bir başka, yine çok kısa fakat hayli değişik alcebrik faktörlerle çözüme varan Polonyalı Stanley Jashemsky’nin 1934’teki dahiyane ispatı, bilhassa o tarihte 18 yaşında olması yönünden çok ilginçtir. Galiba, genç yaşta olmak hakikaten bir üstünlük nedeni oluşturuyor. Zira, Ann Condit adlı Amerikalı bir genç kız, henüz 16 yaşında bir lise öğrencisi iken, 1938 yılında yaptığı ispatta kullandığı geometrik çizimi, hiçbir ünlü matematikçi daha önce düşünememiştir; olağanüstü istisnaî bir ispattır. Fakat, asıl en şaşırtıcı örneği, 1890 yılında, yine Amerikalı E.A. Coolidge adlı 19 yaşında bir genç kız vermiştir. Kendi özel durumu ve içinde bulunduğu eğitim çevresi dolayısıyla. Mıss Coolidge’in verdiği çözümün, kendin-den 800 yıl önce yaşamış Hintli matematikçi Bashkara’nın yazdığı ve sonradan kaybolduğu bilinen ki-tabındaki çözümün hemen tamamen aynısı olduğunu bilmesine olanak yoktu. Zira, Miss Coolidge, anadan doğma kör idi. Üstelik de Bashkara’nın kitabı kendi öz dili ile yazılı olarak, ancak 1910 yılında, Hindistan’da çok eski bir evin yıkıntıları arasında, tesadüfen bulundu. E.A. Coolidge’in çözümü, literatüre “Kör Kız Problemi” olarak geçmiştir.

Coolidge’i ve bir önceki Ann Condit’i, Detroit’ teki Wayne State University’nın ve ayrıca University

1          Michigan’ın muazzam kütüphanelerinde araştırdım. Hayatlarının daha sonralarına ait hiçbir kayda rastlamadım, anlaşılan kaybolup gitmişler.

Ünlü Huygens’in verdiği çözüm de hayli farklı ve enteresandır; ama büyük Leibnitz’in alışılmamış bir konstrüksiyonla yaptığı ispat, sadeliği bakımından da fevkalâde çekici geometrik bir örnektir.

Geometri amatörlerinin arasında da pek çok ilginç çalışmalar vardır. Örneğin 1930-1940’larda matematik literatürüne geçmiş olanlardan J.A. Garfield, P Haynes, F.C. Boon, vs. gibilerinin çözümleri incelendiğinde, bir problemin bu derecede basite indirgenebilmesi şaşkınlık uyandıracak düzeydedir ve de kanımızca liselerimizde yeniden öğretime açılmalıdır bile.

Problemi ele almakta estetik bir görüşün de rol aldığı inkâr edilemez. Devirler boyu yetişmiş nadir dehalardan Leonardo da Vinci’nın bu alanda da imzası vardır. Verdiği çözüm gerçekten bir tablo kadar güzeldir ve açıklaması için hiçbir teknik ifade ve terime gerek göstermeyecek kadar da sadedir. Hatta denilebilir ki, Euclid’in ki dahil, hiçbir çözüm Leonardo’nunki kadar inandırıcı olmamıştır.

Bu yazımızı, yerleşmiş gelenek uyarınca, değişik bir Pisagor çözümü vererek bitirelim. Çerçeve içindeki konstrüksiyonda Rotasyon yolu kullanılmış olup, Euclid-Apollonius elementleri ile dolaylı bir alcebrik-geometrik çözüme varılmıştır. Bilinen kolek-iyonlarda ve American Mathematıcal Monthly sınıflandırmasında mevcut değildir.

Yine de, çözümümüzün tamamen orijinal old-ğunu iddia etmek bize düşmez

 

 

Yazar Hakkında

admin

%d blogcu bunu beğendi: